量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不占据 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可复制定理”。本文证明你这个定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态都不 都不想 复制的,证明曾经量子态可复制的条件为,实际上认为量子态都不想 复制,“量子态不可复制定理”名不符真是。本文进一步证明,占据 无穷多的满足你这个有两个 条件,刚刚“量子态不可复制定理”应当改为“量子态可复制定理”。2.表示有两个 正交的量子态都不想 复制,对于的非正交态的情况汇报,现有理论没办法 讨论,本文全版讨论你这个情况汇报。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态都不想 按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总都不想 找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可复制的条件。4. 量子复制算符对波函数叠加态作用,会原应自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子复制算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却都不想 将纯态波函数变再加任意波函数,曾经的算符不刚刚占据 。5. 量子态复制的真正哪些地方的疑问没办法 了于理论上是否是不想 复制,而在于复制过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你这个不刚刚性与“量子态不可复制定理”的证明无关。6. 少许实验证明,微观粒子的单量子态都不 都不想 复制的,说量子态不可复制毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的都不 光子的单个偏振态,它们都不 都不想 复制的。由此本文的结论是,“量子态不可复制定理”是有两个 概念含糊、矛盾重重、全版错误的命题。建立在你这个定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不占据 。

  关键词 量子力学,量子通讯,复制算符,量子态不可复制定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可复制定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可复制定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你这个著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现占据 可是哪些地方的疑问。“量子态不可复制定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不占据 的。

  从“量子态不可复制定理”的证明过程都不想 看出,该定理的前提是假定任意量子态都都不想 复制。刚刚给出另外有两个 量子态都不想 复制的条件为,不满足这有两个 条件的态才是不可复制的。代表有两个 态正交,表示有两个 态不正交,它们都不 都不想 复制的。刚刚“量子态不可复制定理”名不符真是!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的复制算符定义,对于任意量子态,占据 无穷多的满足的条件。对于的情况汇报,现有理论认为它原应,是有两个 平庸解,没办法 讨论价值。本文指出难能可贵一定原应,并对你这个情况汇报进行全版讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都都不想 表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总都不想 找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可复制条件。刚刚“量子态不可复制定理”实际上应当改成“量子态不可复制定理”。

  可是文献又把该定理称为“未知量子态不可复制定理”,然而对哪些地方是未知的量子态,却没办法 明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可复制定理”的说法在字面上可是哪些地方地方的疑问的,刚刚有两个 量子态是未知的,不知道原型和模板,又缘何不想 复制呢?比如对于叠加态,刚刚已知,你这个态就已知。刚刚任意,你这个态就未知。要复制你这个态首先只能知道。这是先决条件,未知态不可复制的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对复制算符的定义,即使未知,仍然都不想 找到无穷多的,使之满足的条件,刚刚“未知量子态不可复制定理”的说法也是不成立的。

  将量子复制算符对波函数叠加态作用,会原应自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子复制算符的定义是自相矛盾的。将量子态复制算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你这个算符作用在有两个 纯态上,却都不想 将它变成任意波函数,曾经的算符是不占据 的。事实上量子复制算符可是有两个 抽象符号,没办法 具体形式。刚刚其定义是自相矛盾的,在数学上根本不刚刚找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都只能有它的具体形式。

  事实上,量子态复制的真正哪些地方的疑问没办法 了于理论上是否是不想 复制,而在于复制过程如保输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量原应波函数崩塌。量子态复制过程首先只能输入量子态,而输入过程也都不想 看成一种生活生活测量操作。刚刚量子叠加态是不可输入的,刚刚一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你这个意义上,谈论线性叠加态的复制是没办法 意义,但它与“量子态不可复制定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可复制定理”显然与事实不符。少许实验证明,微观粒子的单量子态都不 都不想 复制的。激光器不但不想 复制单个光子,之都不想 够大批量地复制各种光子。连续光谱激光器不但都不想 复制一种生活生活单光子,刚刚都不想 通过调整参数,来少许复制各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就刚刚是有两个 相当性性性成熟期期是什么是什么是什么是什么图片 的句子的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的都不 光子的单个偏振态,而都不 所谓的线性叠加态,它们都不 都不想 复制的。然而“量子态不可复制定理”给人的一般印象却是,任何量子态都不 可复制,这是不真实的。

  实际量子态的复制涉及相互作用,是有两个 非常僵化 的过程,都不 用Wootters定义的你这个简单算符就能表示的。“量子态不可复制定理”是有两个 概念含糊、矛盾重重、全版错误的命题,不但毫无意义,刚刚严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  刚刚本文的结论是,“量子态不可复制定理”不成立,量子通讯所谓的具是否是条件保密性的物理学基础不占据 。

  二.“量子态不可复制定理”的证明

  “量子态不可复制定理”的证明真是非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待复制模板的粒子占据 任意态,另外有两个 粒子占据 标准的纯态。Wootters和Zurek引入有两个 复制量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式如保,Wootters没办法 说明,只能根据具体的情况汇报选取。与图片复印的过程比较,算符要花费复印机,要花费要复印的图片,要花费白纸。

  采用相同的纯态,将复制算符对另外有两个 任意态作用,按照(1)式都不 :

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有有两个 解,。刚刚这有两个 条件满足,就都不想 复制。刚刚不满足,就不可复制。现有理论讨论了的情况汇报,对的情况汇报没办法 讨论,本文重点对的情况汇报进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态都不想 复制。即占据 有两个 算符,都不想 把纯态变成态,刚刚讨论在哪些地方情况汇报下都不想 复制的哪些地方的疑问。原应正交态是都不想 复制的,用通俗的语言说,假设有一台量子复制机,它不想 复制 态,就一定不想 复制与态正交的态,但只能复制与不正交一同又有的态。

  刚刚按照你这个证明,量子态都不 不都不想 复制,可是有选取性地复制。对于不同的量子态,只能不同的复制机,亲戚亲戚朋友儿都不想 制造不同的复制机,来复制不同的量子态。刚刚所谓的“量子态不可复制定理”名不符真是,实际上应当改成“通用量子态复制机不占据 定理”。

  三.“量子态不可复制定理”不成立的证明

  3. 1 量子态复制算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,复制算符对波函数的作用满足以下关系:

这原应不改变任意波函数,即,但却都不想 将纯态波函数变成,即原应是不变算符,即。刚刚也是任意的,与都不想 全版不一样,原应都不 不变算符,应当将写为:

刚刚,都不 ,刚刚量子复制算符的定义自相矛盾,是不刚刚占据 的。

  亲戚亲戚朋友儿都不想 举有两个 具体的例子。假设要复制氢原子的第一激发态,有两个 合理的做法可是,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

刚刚式正交的,按照(2)的定义,是都不想 复制的,复制过程是:

显然不刚刚找到有两个 算符,能使 一同成立,刚刚(8)式不刚刚成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较僵化 。要将有两个 纯态波函数变成另外有两个 波函数保持不变,又都不想 将任意纯态波函数变成态波函数。在你这个算符基础上证明“量子态不可复制定理”是没办法 意义的。

  3. 2 量子态复制算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也刚刚不成立。举有两个 简单例子,氢原子的跃迁过程满足可是禁戒规则,比如角量子数和磁量子数只能满足。刚刚从基态到诸如的激发态是不刚刚的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是都不想 复制的。

  事实上,量子态的复制是有两个 非常僵化 的哪些地方的疑问,根本不刚刚通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的复制算符的基础上的,所谓的“量子态不可复制定理”毫无意义。

  3. 2 占据 无穷多的可复制非正交态

  以下证明对于,仍然可是否是。按照(4)式,你这个非正交态仍然都不想 复制。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下有两个 基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选取本征值的本征函数占据 正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上都不想 严格证明,任意量子力学定态波函数都都不想 表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上有两个 性质,亲戚亲戚朋友儿来重新讨论“量子态不可复制定理”的证明。将系统的任意有两个 波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

刚刚,(13)式变成:

要使(14)式成立,只能:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数刚刚是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余有两个 方程,有有两个 未知数,唯一选取。解方程得。刚刚对于的情况汇报,对于任意波函数,总都不想 找到另外有两个 波函数与它正交。按照Wootters对复制算符的定义,它们都不 都不想 复制的。

  对于的情况汇报,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余有两个 方程,选取有两个 未知数,都不 无穷多种依据 。也可是说对于,可是否是无穷多个与之正交,因而通用量子态复制机占据 。

  对于不正交,的情况汇报,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的有两个 方程解得,刚刚只能才刚刚。原应你这个态都不想 复制,但一台复制机只能复制有两个 量子态。

  对的情况汇报,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的有两个 方程,选取有两个 未知数,原则上是否是穷多个解。刚刚它们都不想 满足(4)和(16)式,按照定义都不 都不想 复制的。

  以下举有两个 具体例子,比如,从第有两个 式子得到。选取,按照(20)式,可得以下波函数:

这有两个 波函数是非正交的,但仍然满足可复制条件,都不想 用同一台复制机复制。

  任意选取的值,都不想 得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况汇报下,“量子态不可复制定理”不成立。亲戚亲戚朋友儿总都不想 找到无穷多的,使它们满足可复制的条件。

  3. 3 复制算符作用于线性叠加态原应矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是都不想 复制的。在(4)式的导出过程中,可是否是单态,也可是否是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将复制算符作用其上,都不想 得到一种生活生活结果。第一种生活生活是复制算符先对单个态作用,即:

第二种复制算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是都不想 实现的,理由是基矢都不想 复制的。(24)式则是不可实现,但没办法 说明原应。

  你这个看法真是有点儿道理,但没办法 找到哪些地方的疑问的本质。刚刚按照复制算符的定义,以上一种生活生活计算依据 都不 合理的。亲戚亲戚朋友儿只能说哪一种生活生活对哪一种生活生活错,从逻辑上也都不想 认为(24)式没办法 错。事实上,(11)、(21)和(22)式都不 叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们都不 都不想 复制的。

  以下来讨论(24)式不刚刚成立的原应。都不想 将(24)式看成复制算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,不想 测量的是波函数的平方,都不 :

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不刚刚改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然占据 。产生哪些地方的疑问的本质原应在于,如前文所述,复制算符的定义(1)式一种生活生活可是矛盾的。你这个矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用可是有两个 例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的复制哪些地方的疑问,只能先了解线性叠加态的真组织结构理意义。量子力学得有两个 统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由有两个 态组成,总出 的几率是态总出 的几率是。它难能可贵原应有两个 态都不想 一同总出 ,可是认为在任意时刻只总出 其中的有两个 态。

  比如对于氢原子中的有两个 电子,它不刚刚一同即占据 基态,又占据 第一激发态。这有两个 情况汇报占据 能量差,从基态进入激发态是只都不想 量输入的。亲戚亲戚朋友儿不刚刚一同复制氢原子的这有两个 态,只能复制其中的有两个 态。在你这个意义上,谈论线性叠加态的复制一种生活生活可是没办法 意义的。

  刚刚按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的有两个 态。比如对于叠加态,任何单次测量只能得到其中的有两个 态,不刚刚一同得到有两个 态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  刚刚量子态复制真正的哪些地方的疑问在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的宽度,为了不想 复制有两个 量子叠加态,首先只能进行测量,以了解你这个态的情况汇报。复制过程只能输入和输出量子态,而输入和输出也都不想 看成是一种生活生活测量。刚刚测量原应叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不刚刚的。

  在实际的过程中,量子态的复制涉及僵化 的相互作用,都不 用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可复制定理”占据 越多的哪些地方的疑问,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上都不 都不想 用复制的,亲戚亲戚朋友儿应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选取本征值的单态都不 可复制的。对量子定态波函数的叠加态,每一次复制将得到其中的有两个 单态,多次复制结果得到态的几率为

  只能曾经理解,不想 与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义复制算符一种生活生活可是自相矛盾的。将复制算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却都不想 将变成任意。你这个自相矛盾的算符在数学上是不刚刚占据 的,原应“量子态不可复制定理”成为有两个 含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对复制算符的定义,满足的量子态都不 都不想 复制的。而在实际的过程中,满足这有两个 条件的量子态却难能可贵不想 复制。刚刚“量子态不可复制定理”不占据 。

  刚刚考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总都不想 找到有两个 波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了都不想 找到无数的波函数与它正交外,还都不想 找到无数个波函数,使它们的积分满足。刚刚“量子态不可复制定理”实际上应当称为“量子态可复制定理”。

  将复制算符作用到量子叠加态,会原应矛盾的结果。这难能可贵原应叠加态不可复制,可是复制算符的定义一种生活生活哪些地方地方的疑问。量子态复制的真正哪些地方的疑问在于,叠加态的输入和输出是不刚刚的,你这个不刚刚性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者就看中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释哪些地方的疑问”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…亲戚亲戚朋友迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你这个二元情况汇报不仅带来认识论方面的误导,刚刚依据 备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的哪些地方的疑问”,物理学家只能“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,防止量子观念的滥用原应的认识论上的哪些地方的疑问和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你这个看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是有两个 科学哲学哪些地方的疑问,但现在它刚刚都不 纯理论哪些地方的疑问。它刚刚越界进入技术领域,刚刚深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都都不想 就看哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有有两个 奇怪的说法,即有两个 量子态在没办法 被测量刚刚亲戚亲戚朋友儿对它哪些地方可是能说。它是占据 叠加态,而都不 选取态。波尔有句名言:有两个 哪些地方的疑问在没办法 被观察刚刚只能说是有两个 哪些地方的疑问。具体地说,对于有两个 自旋为的粒子,在没办法 进行测量刚刚,只能说它的自旋为。刚刚按照波函数的叠加公式,它或许刚刚占据 态。再比如对于有两个 水平偏振的光子,在没办法 被测量刚刚,亲戚亲戚朋友儿只能说它是水平偏振的,刚刚按照波函数的线性叠加公式,它刚刚是垂直偏振。你这个看法与实际全版不符,它刚刚破坏物理守恒规律,原应荒诞的结果。

  比如甲向乙发射有两个 自旋为粒子,乙方接受到的一定是有两个 自旋为的粒子。刚刚角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不刚刚改变的。同样,甲向乙发射有两个 水平偏振的光子,刚刚乙用水平偏振器测量,你这个光子都会通过,说明你这个光子的偏振在运动过程中没办法 改变。原应是光的偏振方向可是电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不想改变。刚刚用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。原应是偏振器使光子的电场方向改变,而都不 该光子没办法 选取的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是少许粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的有两个 系统。在任意时刻,量子体系要么占据 态,要么占据 情况汇报,不刚刚即占据 情况汇报又占据 情况汇报,可是刚刚一同占据 态。刚刚你这个种生活解释是等价的,可是说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的复制也是没办法 意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的都不 单量子态,不刚刚是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不刚刚是叠加态。“量子态不可复制定理”是有两个 全版不靠谱的理论,它把复制过程用有两个 没办法 简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程全版不符。在真实的物理学中,要复制有两个 量子态涉及僵化 的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿上放复印机,一按键盘就了事。在哪些地方地方基本哪些地方的疑问没办法 搞清楚刚刚,就声称量子态不可复制。甚至明明知道单量子态和正交态都不想 复制,明明知道激光器可是光子复制机,却仍然声称量子态不可复制,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量刚刚微观粒子都不想 一同占据 多重情况汇报,用测量原应波函数崩塌来解释一切。以你这个全版错误的理论为基础,技术开发必然原应失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是有两个 典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯曾经重要的事情寄托在你这个全版不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则刚刚是另外有两个 例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的刚刚。按照量子力学的统计系综解释,任哪天刻有两个 微观粒子只能占据 某个选取的情况汇报,不刚刚占据 叠加态,线性叠加可是一种生活生活统计平均的表示依据 。按照量子力学的测量理论,任哪天刻有两个 微观粒子都不想 占据 叠加态,但测量原应波函数崩塌。刚刚叠加态既只能输入可是能输出,量子计算机就刚刚是有两个 空头理论上的东西,在现实中难以实现。你这个哪些地方的疑问类式与量子计算机的消相干哪些地方的疑问,但又有不同。从技术上说消相干是刚刚的,但叠加态的输入和输出是不刚刚的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称刚刚做出量子计算机,刚刚都不 真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。亲戚亲戚朋友刚刚可是利用微观粒子的有两个 分立情况汇报做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它可是对传统电子计算机的模拟,而都不 真正利用了叠加态,不想 进行叠加态并行计算的量子计算机。可是量子计算机专家刚刚还没办法 认识到你这个点,刚刚说可是人知道你这个点,但不想我说出来罢了。关于你这个哪些地方的疑问,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,10002-10003.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,10006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释哪些地方的疑问,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.